Question

如图．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,P为BC的中点，小明拿着含45°角的透明三角形，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转．

（1）如图①：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明△BPE∽△CFP．

（2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF．

探究1：△BPE与△CFP．还相似吗？（只需写结论）

探究2：连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由．

Answer

（1）证明：∵在△ABC中，∠ A=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

∵∠EPC=∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP，∠EPF=45°

∴∠BEP=∠FPC，

∵∠B=∠C

∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）【解析】
①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．

下面证明结论：

同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 BP：BE=PF：PE．

又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

【解析】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，利用三角形一外角等于和它不相邻的两内角和性质列出等式，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；

（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明．