Question

 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，点M是边CD的中点，联结AM、BM．

求：（1）△ABM的面积；

       （2）∠MBC的正弦值．

Answer

（1）8（2）

【解析】（1）延长AM交BC的延长线于点N，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，

∵点M是边CD的中点，

∴DM=CM，

∴△ADM≌△NCM（AAS），

∴CN=AD=3，AM=MN=AN，

∴BN=BC+CN=5+3=8，

∵∠ABC=90°，

∴S△ABN=×AB•BN=×4×8=16，

∴S△ABM=S△ABN=8；

∴△ABM的面积为8；………………………………4分

（2）过点M作MK⊥BC，

∵∠ABC=90°，

∴MK∥AB，

∴△NMK∽△NAB，

∴，

∴MK=AB=2，

在Rt△ABN中，AN===4，

∴BM=AN=2，

在Rt△BKM中，sin∠MBC==．

∴∠MBC的正弦值为．………………………………4分

（1）首先作辅助线：延长AM交BC的延长线于点N，然后利用梯形的性质，即可证得△ADM≌△NCM（AAS），根据全等三角形的性质，即可求得CN的长，即可求得Rt△ABN的面积，则可求得△ABM的面积；

（2）作辅助线：过点M作MK⊥BC，构造Rt△BKM，即可求得∠MBC的正弦值．