Question

已知抛物线(a≠0)的顶点在直线上，且过点A(4，0)．

⑴求这个抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶设点C(1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使的值最大，请直接写出点D的坐标.

Answer

⑴⑵(－2，6)，理由见解析⑶(2，－6).

【解析】⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)，

∴抛物线的对称轴为直线. ………………………………………………………1分

  ∵顶点在直线上，  ∴顶点坐标为(2，－2). …………………………2分

  故设抛物线解析式为，

∵过点(0，0)，∴，∴抛物线解析式为………………………2分

⑵当AP∥OB时，

  如图，∠BOA＝∠OAP＝45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH＝BH.

  设点B(x，x)，故，解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………1分

∴B(6，6). …………………………………………………………………………1分

      当OP∥AB时，同理设点B(4－x，x)

故，解得x＝6或x＝0(舍去)，∴B(－2，6) .……1分

 ⑶D(2，－6).………………………………………………………………………………2分

（1）利用待定系数法就可以求出这个抛物线的解析式，抛物线解析式为y=x2-2x；

（2）在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形．当AP∥OB时，过点B作BH⊥x轴于H，则OH=BH，设点B（x，x），求出x=6，所以B（6，6）；

（3）在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD-CD|的值最大，点C的坐标是（1，-3），要满足|AD-CD|的值最大，则点D的坐标（2，-6）．