Question

操作：如图，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．

探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似，写出你的结论，（找出两对即可）；并选择其中一组说明理由；

②当点P位于CD的中点时，直接写出① 中找到的两对相似三角形的相似比和面积比．

Answer

分两种情况：

①如图（1），

∵∠BPE=90°，

∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，

∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，

∴△BPC∽△PED．

如图（2），同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE．

②如图（1），∵△BPC∽△PED，

∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比，即PD与BC的比，

∵点P位于CD的中点，

∴PD与BC的比为1：2，

∴△PED与△BPC的周长比1：2，

△PED与△BPC的面积比1:4

如图（2），∵△BPC∽△BEP，

∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比，即BP与BC的比，

∵点P位于CD的中点，

设BC=2k，则PC=k，BP=k，

∴BP与BC的比为：2，

△BEP与△BPC的周长比为：2，△BEP与△BPC的面积比为5：4．

同理：△PCE∽△BPC，周长比1：2，面积比1：4．

【解析】由于本题直角三角形的摆放方法没有确定，因此要分两种情况进行讨论：

①直角三角形的斜边与AD相交；（如图1）

②直角三角形的斜边与BC边在同一条直线上（如图2）；解题思路一致．

以①为例说明：△DEP和△BCP中，∠DEP和∠BPC同为∠DPE的余角，因此这两角相等，易证得两三角形相似．当P为CD中点时，PD=CP，可根据相似三角形得出的比例关系式求出DE和BC的表达式，进一步可求得两三角形的相似比和面积比．