Question

如图，抛物线y=ax² + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。

（1）求抛物线y= ax² + bx + c 的解析式；

（2）求△AOC和△BOC的面积比；

（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。

若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由。

Answer

（1）∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1，

∴点B的坐标为（3，0），∴可设抛物线的解析式为y= a（x+1）(x-3)

又∵抛物线经过点C(0,-3)，∴ -3=a（0+1）(0-3)

∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=（x+1）(x-3)，

即y=x2-2x-3 

（2）依题意，得OA=1,OB=3,

∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB=1∶3 

（3）在抛物线y=x2-2x-3上，存在符合条件的点P 。

解法1：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。

∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），

抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。

设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B（3，0）代入得 3k-3=0 ∴k=1。

∴y=x-3 ∴当x=1时，y=-2 .∴点P的坐标为（1，-2） 

解法2：如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D

∵AC长为定值，∴要使△PAC的 周长最小，只需PA+PC最小。

∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（3，0），

抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为（0，3）

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小。

∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴即  

∴DP=2

    ∴点P的坐标为（1，-2）

【解析】（1）根据抛物线的对称轴即可得出点B的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求得二次函数的解析式．

（2）由于两三角形等高，那么面积比就等于底边的比，据此求解即可．

（3）本题的关键是确定P点的位置，根据轴对称图形的性质和两点间线段最短，可找出C点关于抛物线对称轴的对称点，然后连接此点和A，那么这条直线与抛物线对称轴的交点就是所求的P点．可先求出这条直线的解析式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得P点坐标．