Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC， AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：△ABE∽△ADB；

（2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

【解析】
（1）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠BAE=∠EAB，

∴△ABE∽△ADB

（2）∵△ABE∽△ADB，

∴，

∴AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，

∴AB=．………4分

（3）直线FA与⊙O相切，

理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴，

BF=BO=，

∵AB=，

∴BF=BO=AB，

∴∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．

【解析】（1）两个对应角相等可以判定两个三角形相似；

       （2）由三角形相似比可以求得AB=

       （3）证得∠OAF=90°，即可说明直线FA与⊙O相切。