Question

如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．

（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请写出必要的推理过程；

（2）△CED是不是直角三角形？请说明理由；

（3）若已知AD=6，AB=14，请求出请求出△CED的面积．

Answer

（1）Rt△ADE≌Rt△BEC；

理由如下：

∵∠1=∠2，

∴DE=CE，又∠A=∠B=90°，AE=BC

∴在Rt△ADE和Rt△BEC中，

DE=CE、AE=BC，

∴Rt△ADE≌Rt△BEC；

（2））△CDE是直角三角形；

理由如下：

∵Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，

又∵∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，

∴2（∠AED+∠BEC）=180°，

∴∠AED+∠BEC=90°，

∴∠DEC=90°，

∴△CDE是直角三角形；

（3）已知AD=BE=6，

∴AE=AB﹣BE=AB﹣AD=14﹣6=8，

在Rt△ADE中，

DE===10，

又∠1=∠2，

∴DE=CE=10，

再由（2）得：

△CED的面积为：DE•CE=×10×10=50．

所以△CED的面积为：50．

【解析】（1）由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可；

（2）根据题意，∠AED+∠ADE=90°，∠BEC+∠BCE=90°，又∠AED=∠BCE，∠ADE=∠BEC，所以，∠AED+∠BEC=90°，即可证得∠DEC=90°，即可得出；

（3）由（1）可得BE=AD，所以可求出AE，根据勾股定理可求出DE，再由已知∠1=∠2和（2）可知）△CED是等腰直角三角形，从而求出△CED的面积．