Question

如图，点A的坐标为（3,0），点C的坐标为（0,4），OABC为矩形，反比例函数的图像过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12,CF=13.

（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；

（2）求四边形OAFC的面积．

Answer

【解析】
（1）依题意，得点B的坐标为（3,4），点D的坐标为（3,2）

      将（3,2）代入，得k=6.

所以反比例函数的解析式为.    

设点E的坐标为（m，4），将其代入，m=,

故点E的坐标为（，4）.             

设直线OE的解析式为，将（，4）代入得

所以直线OE的解析式为.   

 （2）连结AC，由勾股定理得.

又∵ ，

∴ 由勾股定理的逆定理得∠CAF=90°.     

∴。

【解析】（1）根据反比例图像上点D的坐标易求反比例函数的关系式；由于直线OE是一条过原点的直线，只要知道点E的坐标，而易得到点E的纵坐标且点E又在反比例函数上，易求点E的横坐标。

（2）利用转化思想，将不规则四边形转化成两个直角三角形，其中是直角三角形需要利用勾股定理逆定理判断。