Question

已知：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：AD=DB；

（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；

（3）当∠DEF=90°时，求BF的长.

Answer

（1）在⊿ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°.

                       ∵ AD平分∠CAB，

∴∠DAB=30°.  

                 ∴∠DAB=∠B，

∴AD=DB.            

（2）在⊿AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，∴∠AEF=30°.

  ∴.

在Rt⊿ABC中，∵∠B=30°，AC=6，∴AB=12.

∴.

∴                   

（3）当∠DEF=90°时，∠CED=180°－∠AEF－∠FED=60°.

∴∠EDC=30°，ED=2x.               

又∵∠EDA=∠EAD=30°，∴ED=AE=6－x.

∴有 2x=6－x，得x=2.                

此时，.

即BF的长为10.                     

【解析】（1）利用直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，最后由等角对等边得出结论。

（2）利用直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，

（3）利用（2）的结论，根据等角对等边得到方程求出x值，从而求出BF的长。