Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．

（1）试说明四边形AECG是平行四边形；

（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形?

Answer

（1）由题意，得∠GAH=∠DAC, ∠ECF=∠BCA

∵四边形ABCD为矩形 ∴AD∥BC ∴∠DAC＝∠BCA∴∠GAH=∠ECF∴AG∥CE

又∵AE∥CG ∴四边形AECG是平行四边形

（2）∵四边形AECG是菱形 ∴F、H重合∴AC＝2BC

在Rt△ABC中,设BC＝x,则AC＝2x 在Rt△ABC中

即，解得x＝，即线段BC的长为 cm.

【解析】（1）因为对折，所以∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA，又∠GAH=∠ECF，可得AG∥CE，即可得出四边形AECG是平行四边形；

（2）由菱形的定义知可知F，H两点重合，可得出AC=2BC，由此可计算边BC的长．