Question

已知：如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD=AB，CM⊥AD于M. 求证：AM=(AB+AC) 。

Answer

证明：取AD、CD的中点为E，F点，连接EF，FM，

∴EF是三角形ACD的中位线，

∴EF∥AC，EF=AC，

∠DEF=∠CAD，

∵CM⊥AD，CF=DF

∴DF=MF，∠FDM=∠FMD=∠ADB，

∵AB=AD，

∴∠B=∠ADB=∠AMF，

∴A、B、M、F四点共圆，

∴∠BAM=∠BFM，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAM=∠CAM=∠FEM，

∠FEM+∠EFD=∠EFD+∠BAM=∠EFD+∠BFM=∠EFM=∠FDM=∠FMD，

∴∠EFM=∠EMF，

∴EF=EM=AC，

∵AE=AD=AB，

∴AM=AE+EM=（AB+AC）．

即AM=（AB+AC）．

【解析】取AD、CD的中点为E，F点，连接EF，FM，求出EF∥AC，EF= AC，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠BAM=∠BFM，推出∠EFM=∠EMF，推出EF=EM，根据EF=EM=AC和AE=AD=AB求出即可．