Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°—．

（1）用含的代数式表示∠APC，得∠APC =______；

（2）求证：∠BAP=∠PCB；

（3）求∠PBC的度数．

Answer

（1）∠APC．    

   （2）证明：如图5． 

∵CA=CP，

        ∴∠1=∠2=．

        ∴∠3=∠BAC－∠1==．

        ∵AB=AC，

        ∴∠ABC=∠ACB==．

        ∴∠4=∠ACB－∠5==．

        ∴∠3=∠4．

        即∠BAP=∠PCB．                       

（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）．

        ∵PC=AC，AB=AC，

        ∴PC=AB．

        在△ABP和△CPM中，

           AB=CP，

           ∠3=∠4，

           AP=CM，

∴△ABP≌△CPM．

        ∴∠6=∠7， BP=PM．

        ∴∠8=∠9．

        ∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，

∴∠ABC－∠8=∠9－∠4．

        即（）－∠8=∠9－（）．

        ∴ ∠8＋∠9=．

        ∴2∠8=．

        ∴∠8=．

        即∠PBC=．                         

解法二：作点P关于BC的对称点N，

连接PN、AN、BN和CN（如图7）． 

则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称．

∴△PBC≌△NBC．

∴BP=BN，CP=CN，

∠4=∠6=，∠7=∠8．

∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6

==．

∵PC=AC，

        ∴AC=NC．

        ∴△CAN为等边三角形．

        ∴AN=AC，∠NAC=．

        ∵AB=AC，

∴AN=AB．

∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（）－=，

∴∠PAN=∠3．

        在△ABP和△ANP中，

           AB=AN，

           ∠3=∠PAN，

           AP=AP，

∴△ABP≌△ANP．

        ∴PB=PN．

        ∴△PBN为等边三角形．

        ∴∠PBN=．

        ∴∠7=∠PBN =．

即∠PBC=．              

【解析】(1)由PC=AC，根据等腰三角形的特征即可表示出∠APC；

（2）根据等边对等角及三角形的内角和可分别用含代数式表示出∠BAP与∠PCB即可得到结果；

（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）

先得到△ABP≌△CPM，再根据全等三角形的对应边、对应角相等推出含的方程即可求出∠PBC。

解法二：作点P关于BC的对称点N，连接PN、AN、BN和CN（如图7）．

根据对称性可得△PBC≌△NBC，再根据全等三角形的对应边相等即可推出△CAN为等边三角形，从而得到△ABP≌△ANP，推出△PBN为等边三角形，即可求出∠PBC。