Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点 P'不在y轴上），连结P P'， P'A，P'C．设点P的横坐标为a．

(1) 当b＝3时，求直线AB的解析式；

(2) 在(1)的条件下，若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；

(3) 若点P在第一像限，是否存在a ，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

解:  (1)设直线AB的解析式为y=kx+3，

把x＝－4，y＝0代人上式，得－4k+3＝0，

∴，      ∴

（2）由已知得点P的坐标是(1，m)，

∴，∴.

(3)  以下分三种情况讨论．

i)若∠AP'C= 90°，P'A= P'C（如图1），过点P'作P'H⊥x轴于点'H，

∴PP'=CH=AH=P'H =AC，

∴，∴．

ii)若∠P'AC=90°，P'A= CA(如图2)，

则PP'=AC，∴2a＝a+4，∴ a＝4．

iii)若∠P'CA =90°，则点P'，P都在第一象限，

这与条件矛盾，

∴△P'CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．

【解析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值；可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；

（3）点P在第一像限，若使△P'CA为等腰直角三角则∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三种情况分别讨论求出出所有满足要求的a的值即可