Question

已知，如图，△ABC中，点D在BC上，且∠1=∠C，∠2=2∠3，∠BAC=70°.

（1）求∠2的度数；

（2）若画∠DAC的平分线AE交BC于点E，则AE与BC有什么位置关系，请说明理由.

Answer

（1）∵∠1=∠C，∠2=2∠3

∴∠C=∠1=∠2+∠3=2∠3+∠3=3∠3

∵∠BAC+∠2+∠C=180°

       即70°+2∠3+3∠3=180°

       ∴ ∠3=22°

∴∠2=2∠3=44°

（2）AE⊥BC

 理由是：

∠DAC=∠BAC—∠3=70°—22°=48°

∵AE平分∠DAC

∴∠DAE=∠DAC=24°

∠1=3∠3=66°

∴∠AED=180—∠1—∠DAE=180°—66°—24°=90°

      即AE⊥BC

【解析】（1）由于∠C=∠1，利用∠1是△ABD的外角，可得∠1=∠2+∠3，从而可得∠C=3∠3，再结合三角形内角和定理，可求∠3，从而可求∠2；

（2）利用AE是角平分线，可求∠DAE，结合（1）中所求∠3，可求∠DAC、∠1，在△ADE中，利用∠AED=180°-∠1-∠DAE，可求∠AED=90°，那么AE⊥BC．