Question

 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．(1)试说明：△ABD≌△BCE． (2)△AEF与△ABE相似吗?请说明理由．

(3)试说明：BD²=AD·DF．

Answer

证明见解析

【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，

又∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE；

（2）答：相似；

理由如下：

∵△ABD≌△BCE，

∴∠BAD=∠CBE，

∴∠BAC-∠BAD=∠CBA-∠CBE，

∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，

∴△EAF∽△EBA．

（3）BD2=AD•DF；

证明：由△ABD≌△BCE，得∠EBC=∠DAB，

又∵∠ADB=∠BDF，

∴△BDF∽△ADB；

∴BD AD =DF BD ，即BD2=AD•DF；

（1）根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质可以求证△ABD≌△BCE；

（2）根据全等三角形对应角相等性质可得∠BAD=∠CBE，进而可以求得∠EAF=∠EBA，即可求证△EAF∽△EBA，

（3）由（1）的△ACD≌△BAE可得出：∠DAC=∠ABE，再加上公共角∠AEF，可根据两个对应角相等的三角形相似证得．