Question

如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n

（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对证明它们相似；

（2）根据图1，求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；

（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2). 旋转∆AFG，使得BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证；

(4）在旋转过程中,(3)中的等量关系是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

Answer

(1)∆ABE∽∆DAE,  ∆ABE∽∆DCA，证明见解析(2)

（3）（1- ，0），证明见解析(4）成立，证明见解析

【解析】解:(1)∆ABE∽∆DAE,  ∆ABE∽∆DCA                                   1分

∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA   又∠B=∠C=45°

∴∆ABE∽∆DCA       3分

(2)∵∆ABE∽∆DCA   ∴  由依题意可知 

 ∴                                5分

   自变量n的取值范围为               6分

 (3) ∵BD=CE，

∴BE=CD．

∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，

∴△ABE≌△ACD．

∴AD=AE．

∵△BAE∽△CDA，

∴CD=AB=，易得CO=1．

∴OD=-1，那么点D的坐标为（1- ，0）．

∵BD=2-，CE=2-，DE=2-2BD=2 -2，

∴BD2+CE2=DE2．

(4)成立                       10分

证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°. 连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE  又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH 即BD＋CE=DE           12分

（1）根据“AAA”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE；

（2）由（1）知，△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE，则有△ABE∽△DCA，因为相似三角形的对应边成比例，所以，，再把已知数据代入求解即可．

（3）由BD=CE得BE=CD，那么可得△ABE≌△ACD，则AD=AE，加上（1）中的相似，可得CD=AB= ，由OC=1得到点D的坐标，进而表示出所求的代数式．

（4）可旋转一特殊角的度数，求解，得到一般结论．