Question

如图①，△ABC与△DEF为等腰直角三角形，CB与EF重合，AC=DE=8,∠ACB=∠DEF=90°固定△ABC，将△DEF绕点C顺时针旋转，当边FE与边CA重合时，旋转终止。设FE、FD（或它的延长线）分别交AB（或它的延长线）于点P、Q，如图②

（1）问：始终与△CPB相似的三角形(不添加其他辅助线)有①       及②        

（2）设BP=，AQ=，求关于的函数关系式；

（3）问：当为何值时，△CPQ是等腰三角形？

Answer

1、（1）  △CPQ（2） △ ACQ；2、；3、或8或

【解析】【解析】
1、（1）  △CPQ（2） △ ACQ     ……………………………..2分

2、∵△CPB∽△QCA

   ∴

∴∴…………………………………………………………6分

3、情况一、当PB=时，P点为BC的中点，Q点与B点重合时，CP=PQ

△CPQ为等腰三角形,PB=……………………………………………. 8分

 情况二、如图，当∵∠CPB=∠BCP=67.5O∴PB=BC=8.时 △CPQ为等腰三角形其中CP=CQ

………………………………..10分

情况三、当PB=AB，P与A重合， Q为AB的中点时，△CPQ为等腰三角形其中

PQ=CQ.,PB=……………………………………………………………12分

∴当或8或时△CPQ为等腰三角形

此题通过图形的旋转，考核相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定以及反比例函数等知识的综合应用