Question

如图，四边形ABCD中，∠ABC＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F. 试说明：（1）△CBE≌△CDF; （2）AB＋AD＝2AF.

Answer

证明见解析

【解析】(1)  ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD

         ∴ CE=CF

         ∵ ∠ABC+∠CBE=180º

∠ABC＋∠D＝180°

∴∠CBE=∠D               ………………2分

在 △CBE 与△CDF中

∠CBE=∠D

∠BEC=∠CFD

CE=CD

△CBE≌△CDF(AAS)         ………………5分

(2) ∵ △CBE≌△CDF(AAS)

∴BE=DF

在 △AEC 与△AFC中

CE=CF

AC=AC

△AEC ≌△AFC(HL)     ………………8分

∴AE=AF

∴AB＋AD＝AE＋AF  

∴AB＋AD＝2AF          ………………10分

（1）根据角平分线的性质可得到CE=CF，根据余角的性质可得到∠EBC=∠D，已知CE⊥AB，CF⊥AD，从而利用AAS即可判定△CBE≌△CDF．

（2）已知EC=CF，AC=AC，则根据HL判定△ACE≌△ACF得AE=AF，最后证得AB＋AD＝2AF.即可．