Question

操作实验：

如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．

所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．

归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．

根据上述内容，回答下列问题：

思考验证：

如图（4），在△ABC中，AB=AC．

试说明∠B=∠C的理由．（添加辅助线说明）

探究应用：

如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD于F，连接DC、DE、AC，AC与 DE交于点O．

（1）BE与AD是否相等？为什么？

（2）小明认为AC垂直平分线段DE，你认为对吗？说说你的理由。

（3）∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由．

Answer

思考验证：理由见解析，探究应用（1）相等，理由见解析（2）对，理由见解析（3）相等，理由见解析

【解析】思考验证：说明：过A点作AD⊥BC于D

∴∠ADB＝∠ADC＝90°

 在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（HL）       

∴∠B＝∠C 

注意：本小题也可以作其它辅助线，  …………  3分

探究应用（令∠ABD＝∠1，∠DBC＝∠2）

（1）说明：∵CB⊥AB

           ∴∠CBA＝90°

            ∴∠1+∠2＝90°

            ∵DA⊥AB

            ∴∠DAB＝90°

            ∴∠ADB+∠1＝90°

            ∴∠ADB＝∠2

         在△ADB和△BEC中

∴△DAB≌△EBC（ASA）

∴DA＝BE                                …………6分

（2）∵E是AB中点

∴AE＝BE

∵AD＝BE

∴AE＝AD

在△ABC中，

∵AB＝BC

∴∠BAC＝∠BCA

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠BCA

∴∠BAC＝∠DAC

 在△ADO和△AEO中，

∴△ADO≌△AEO（SAS）

∴OD＝OE  ∠AOD＝∠AOE=90º

∴AC垂直平分DE．                      …………9分 

(3)              .........10分

∴CD=CE

∵△DAB≌△EBC

∴DB=CE

∴CD=BD

∴∠DBC=∠DCB                    …………12分

思考验证：作等腰三角形底边上的高，构造全等三角形．

（1）BE与AD在两个直角三角形中，证这两个直角三角形全等即可；

（2）可证点A，C在线段DE的垂直平分线上．注意结合（1）的结论，利用全等证明即可；

（3）由第二问的垂直平分线的性质，得到CD=CE，由第一问的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．