Question

如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直

线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

(2) 若∠BOC=120°.

①将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为           （直接写出结果）；

②将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：

∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）已知∠AOC=60°，

∴∠BOC=120°，

又OM平分∠BOC，

∠COM=∠BOC=60°，

∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2）延长NO，

∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

当直线ON恰好平分锐角∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=30°，

即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，

由题意得，10t=300°

∴t=30，

当NO平分∠AOC，

∴∠NOR=30°，

即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，

∴10t=120°，

∴t=12，

∴t=12或30；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，

所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM-∠NOC=30°．

【解析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；

（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．