Question

已知，如图：在△ABC中，∠ABC = 70°，∠ACB = 50°，E分别为AC、AB上的点，且BE = CD，G、M、N分别为BC、BD、CE的中点。

(1) 求∠MGN与∠A的度数相等吗？说明理由。

(2) 判断△GMN的形状，说明理由。

Answer

（1）相等；

∵G、M、N分别为BC、BD、CE的中点，

∴GM∥CD，GN∥BE，

∴∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，

∴∠MGN=180°-∠BGM-∠CGN=60°，

已知∠ABC=70°，∠ACB=50°，

∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，

∴∠MGN=∠A；

（2）等边三角形；

∵G、M、N分别为BC、BD、CE的中点，

∴GM=CD，GN=BE，

又已知BE=CD，

∴GM=GN，

∴∠GMN=∠CNM，

又∵∠MGN=60°，

∴∠GMN=∠CNM=（180°-60°）=60°，

∴∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，

∴△GMN为等边三角形．

【解析】（1）由G、M、N分别为BC、BD、CE的中点根据三角形中位线定理可得GM∥CD，GN∥BE，继而得∠BGM=∠ACB=50°，∠CGN=∠ABC=70°，所以得∠MGN=60°，再由三角形内角和定理得∠A=60°，所以∠MGN与∠A的度数相等；

（2）由已知BE=CD，G、M、N分别为BC、BD、CE的中点，根据三角形中位线定理可得GM=GN，则得∠GMN=∠CNM，由（1）得出∠MGN=60°，再根据三角形内角和定理得出∠GMN=∠CNM=∠MGN=60°，所以得△GMN的形状为等边三角形．