Question

我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程．例如，一元二次方程x² + x − 2 = 0可以通过因式分解化为：(x − 1) (x + 2) = 0，则方程的两个解为x = 1和x = −2．反之，如果x = 1是某方程ax² + bx + c = 0的一个解，则多项式ax² + bx + c必有一个因式是(x − 1)．

在理解上文的基础上，试找出多项式x³ + x² − 3x + 1的一个因式，并将这个多项式因式分解．

Answer

∵x = 1是方程x3 + x2 − 3x + 1 = 0的一个解，

∴多项式x3 + x2 − 3x + 1的一个因式是x − 1．

设x3 + x2 − 3x + 1 = (x − 1) (x2 + ax − 1)

∴x3 + x2 − 3x + 1 = x3 + ax2 − x2 − ax − x + 1

∴1 = a − 1，− 3 = − a − 1，

∴a = 2，

∴x3 + x2 − 3x + 1 = (x − 1) (x2 + 2x − 1)

【解析】根据得出x-1是多项式的一个因式，然后利用选定系数法求出另一个因式。