Question

教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境：边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的

大正方形纸片上（如图9−6），你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(a + b) (a − b) = a² − b²吗？

（不必证明）

(1)如果将小正方形的一边延长（如图①），是否也能推导公式？请完成证明．

(2) 面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图②，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4´ab + (a − b)²，由此推导出重要的勾股定理：a² + b² = c²．

图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你完成证明．

(3) 试构造一个图形，使它的面积能够解释(a − 2b)² = a² − 4ab + 4b²，画在下面的格点中，并标出字母a、b所表示的线段．

Answer

(1) 未盖住部分的面积为：a2 − b2，

也可以看作a (a − b) + b ( a − b) = (a − b) ( a + b)；

∴(a − b) ( a + b) = a2 − b2．

(2) 梯形ABCD的面积为：(a + b) (a + b)，

又可以表示为：2´ab + c2．

∴(a + b) (a + b) = 2´ab + c2，化简得：a2 + b2 = c2

(3)

【解析】（1）采用大正方形面积-小正方形面积=两个不相等的长方形面积这和求出平方差公式；

（2）利用梯形面积等于三个直角三角形面积之和证出勾股定理；

（3）根据以上结论来作图。