Question

如图（l），在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE交于点G．

（1）试探索线段AF、DE的数量和位置关系，写出你的结论并说明理由；

（2）连结EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图（2）中补全图形，并说明理由．

Answer

(1) AF=DE且AF⊥DE，理由见解析（2）正方形，理由见解析

【解析】(1) AF=DE且AF⊥DE

在△ABF和△DAE中,

∵AB=DA, ∠B=∠DAE,BF=AE

∴△ABF≌△DAE                   

∴AF=DE,                          …………2分

∠BAF=∠ADE              

又∵∠BAF+∠DAG=90o

∴∠ADE+∠DAG=90o

∴∠AGD=90o , 即AF⊥DE.            …………4分

(2) 四边形HIJK是正方形

∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点

∴HK∥DE且HK =,IJ∥DE且IJ =

∴HK ∥IJ且HK =IJ

∴HIJK是平行四边形                  …………6分

同理可证HI∥KJ且HI=KJ=,       

又∵AF=DE  ∴HI=IJ  ∴HIJK是菱形   …………8分

又∵AF⊥DE ∴HI⊥IJ

∴四边形HIJK是正方形.                 …………9分

（1）根据已知利用SAS判定△DAE≌△ABF，由全等三角形的判定方法可得到AF=DE．

（2）根据已知可得HK，KJ，IJ，HI都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而来可得到该四边形是正方形．