Question

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，可以推出△ABP与△ECP相似的有_______。

①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分线垂直于BC；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3．

Answer

①②④

【解析】【解析】
∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，

当∠APB=∠EPC时，又∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△ECP；

当∠APE的平分线垂直于BC，如图所示：

∵QP⊥BC，

∴∠QPB=∠QPC=90°，

又∵PQ为∠APE的平分线，

∴∠APQ=∠EPQ，

∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，

同理可得出△ABP∽△ECP；

当P为BC中点时，BP=CP= BC，

又∵E为CD的中点，

∴DE=CE=CD，

∴PC=EC，

又∵∠C=90°，

∴△PEC为等腰直角三角形，

而AB=2BP，△ABP不为等腰直角三角形，

则P是BC的中点时，两三角形不相似；

当BP：BC=2：3时，设BP=2k，则BC=3k，

∴CP=BC-BP=3k-2k=k，

又∵E为CD的中点，

∴CE=DE= CD=BC= k，

∴，，

∴，且∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△ECP，

综上，可以得到△ABP∽△ECP的选项为①②④．

故答案为：①②④