Question

在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)求直线AB的解析式；

(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?

(3)当t=2秒时，求四边形OPQB的面积．

Answer

（1）y=-x+6          

（2）若△APQ∽△AOB，则=

∵AO=6，BO=8

∴AB=10，则AP=t，AQ=10-2t

∴，解得

若△APQ~△ABO，则

，解得t=

因此，t=或t=时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似。 

（3）过点Q作QM⊥OA，垂足为M。

由MQ∥OB得=，则QM=4.8

∴S四边形OPQB=S△AOB-S△AQP=19.2    

【解析】（1）已知直线经过点A，B就可以利用待定系数法求出函数的解析式．

（2）以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似，应分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．

（3）过点Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面积．