Question

如图①，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个角，角两边分别交边于两点，连接.

（1）探究：线段之间的关系，并加以证明。

（2）若点是的延长线上的一点，是的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段之间的关系，在图②中画出图形，直接写出结论.

Answer

（1）MN=BM+NC．理由如下：

延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，

∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，

又BD=DC，且∠BDC=120°，

∴∠DBC=∠DCB=30°

∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

在△MBD与△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，

∴△MBD≌△ECD（SAS），

∴MD=DE，

∴△DMN≌△DEN，

∴MN=BM+NC．

（2）按要求作出图形，（1）中结论不成立，应为MN=NC﹣BM．

在CA上截取CE=BM．

∵△ABC是正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵BD=CD，∠BDC=120°，

∴∠BCD=∠CBD=30°，

∴∠MBD=∠ECD=90°，

又∵CE=BM，BD=CD，

∴△BMD≌△CED（SAS），

∴DE=DM，

又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN=60°，MD=ED，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．

【解析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段，MD=DE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．

（2）按要求作出图形，先证△BMD≌△CED，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．