Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从C点出发以每秒2个单位的速度向终点B运动，两点同时出发，设运动时间为t.

（1）梯形ABCD的面积是           。

（2）①当t为多少秒时，四边形ABQP是平行四边形？

     ②当t为多少秒时，四边形ABQP是梯形？

（2）当t=3秒时通过计算判断四边形ABQP是否是直角梯形？

    

Answer

解:（1）S梯形ABCD=36

     (2)①当运动ts时，

      AP=t，CQ=2t

      ∴BQ=12－2t.

      ∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形

       ∴t=12－2t

       ∴t=4秒 即：t为4秒时，四边形ABQP是平行四边形

        ②要使四边形ABQP是等腰梯形

         须使PQCD是平行四边形

         这时PQ=DC=AB

         PD=CQ

       则6－t=2t

        3t=6

     ∴t=2(秒）

      即t为2秒时，四边形ABQP是等腰梯形

     （3）当t=3秒时，AP=t=3，BQ=12－2t=6

      此时，P为AD的中点，Q为BC中点

     ∴AB=BC=5

     ∴此时PQ所在直线是梯形ABCD的对称轴

     ∴PQ⊥BC，PQ⊥AD

     又AP∥BQ

     ∴ ABQP是直角梯形

【解析】（1）作出等腰梯形ABCD的高，根据勾股定理求出高，即可求得面积；

（2）①当四边形ABQP是平行四边形时有AP=BQ，列出关于t得方程即可；

②要使四边形ABQP是等腰梯形,须使PQCD是平行四边形,这时PQ=DC=AB,PD=CQ，列出关于t得方程即可；

（3）先求出此时AP、BQ的长，可得此时P为AD的中点，Q为BC中点，从而PQ所在直线是梯形ABCD的对称轴，所以四边形ABQP是否是直角梯形。