Question

已知△ABC是等边三角形，点P是AC上一点，PE⊥BC于点E，交AB于点F，在CB的延长线上截取BD=PA，PD交AB于点I，.

（1）如图1，若，则=       ，=       ；

（2）如图2，若∠EPD=60º，试求和的值；

（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且，其他条件不变，则=       .(只写答案不写过程)

Answer

（1）=       ，=   1    ；

    (2)如图设PC= a，则PA=an；连BP，且过P作PM⊥AB于M；过P点作PN∥BC交AB于N

      可判断ANP为等边三角形

      所以AP=PN=AN

      ∴△PNI≌△DBI(AAS)

      ∴IB=

     又∵∠PED=900

       ∴∠D=∠BID= 300

∴BI=BD

=an

∴n=           

      在三角形AMP中可得AM=

       ∴BM=BE=

又DB=PA

∴DE=

又∵∠EPC=∠APF=300 

而∠CAF=1200

∠F=300

AF=AP= an

∴FI=2an+   ∴=== 

     (3) =           

【解析】（1）①由题意，在直角△BEF中，∠F=30°，则BE=BF，又由∠BAC=∠F+∠APF=60°，可得AF=AP=BD=AB，BD=BF，即可得出；

②如图一，作PG∥BC，IH∥BC，可得IH=FI，易证△PGI≌△DBI，则DI=PI，在△PDE中，IH是中位线，可得IH=DE，即可得出；

（2）连BP，且过P作PM⊥AB于M，过P点作PN∥BC交AB于N，可得ANP为等边三角形，△PNI≌△DBI（AAS），根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，可得BI=BD，即a=an，即可得出n的值；在△AMP中可得AM=an，BM=BE=a+an-an=a+an，BE=a+an-a=a+an，由∠EPC=∠APF=30°，而∠CAF=120°，∠F=30°，则AF=AP=an，FI=2an+a，即可求出；

（3）根据（1）的推理原理，即可推出结果．