Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（，0），B（0，），且、满足.

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点M为直线在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求的值.

（3）如图3过点A的直线交轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值。

Answer

   【解析】
（1）由题意求得  A(2,0)  B(0,4)    

利用待定系数法求得函数解析式为：   

 （2）分三种情况

当BM⊥BA  且BM=BA时        当AM⊥BA  且AM=BA时        当AM⊥BM  且AM=BM时

△  BMN≌△ABO(AAS)           △BOA≌△ANM(AAS)

得M的坐标为（4,6 ）         得M的坐标为（6, 4 ）        构建正方形

m=                           m=                       m=1

（3）结论2是正确的且定值为2  

  设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，

由与x轴交于H点可得H(1,0)    

由与交于M点可求M(3，K)

而A(2,0) 所以A为HG的中点

所以△AMG≌△ADH(ASA)             

又因为N点的横坐标为－1，且在上

所以可得N 的纵坐标为－K，同理P的纵坐标为－2K

所以ND平行于x轴且N、D的很坐标分别为－1、1

所以N与D关于y轴对称

所以可证△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC

所以PN=PD=AD=AM

所以= 2             

【解析】（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；

（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．

（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案