Question

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。

（1）试说明四边形AECF是平行四边形。

（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形。

（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形。

Answer

证明：

（1）在□ABCD中

AD∥BC

   ∴∠EAC =∠ACF   ∠AEF =∠CFE

   ∵O是AC的中点

  ∴OA=OC

  ∴△AOE≌△COF

  ∴OE=OF

  又∵OA=OC

  ∴四边形AECF是平行四边形

（2）由（1）可知四边形AECF是平行四边形

 ∵ EF⊥AC

∴ 四边形AECF是菱形

（3）当EF = AC时，四边形AECF是矩形。

理由：由（1）可知四边形AECF是平行四边形

 ∵EF = AC

 ∴ 四边形AECF是矩形  

【解析】（1）根据平行四边形及O是AC的中点，推出△AOE≌△COF，即得OE=OF；

（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形推出即可；

（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．