Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10.

（1）求矩形ABCD的周长；

（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.

①求DE的长；

② 点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长.

（2）M是AD上的动点，在DC 上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处, 求线段CT长度的最大值与最小值之和。

     

Answer

（1）36  

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.

在Rt△ABF中，BF=6.  ∴FC=4.   

在Rt△ECF中，42+（8-DE）2=EF2，解得DE=5.   

②分三种情形讨论：

若AP=AF，∵AB⊥PF，∴PB=BF=6.   

若PF=AF，则PB+6=10，解得PB=4. 

若AP=PF，在Rt△APB中，AP2=PB2+AB2，解得PB=. 

综合得PB=6或4或.

   （3）当点N与C重合时，AT取最大值是8， 

当点M与A重合时， AT取最小值为4．      

    所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：12．

【解析】（1）因为矩形的两组对边相等，所以周长等于邻边之和的2倍；

（2）①四边形ABCD是矩形，由折叠对称的特点和勾股定理即可求出ED的长；

②分若AP=AF；PF=AF以及AP=P三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可；

（2）由题意可知当点N与C重合时，AT取最大值是8，当点M与A重合时，AT取最小值为4，进而求出

线段CT长度的最大值与最小值之和．