Question

探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于  （     )

A. 90°   B. 135°     C. 270°       D. 315°

（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______

（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________

（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由.

Answer

（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°

∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-90°=270°．

∴∠1+∠2等于270°．C；

（2）∠1+∠2=180°+40°=220°．220°；

（3）∠1+∠2=180°+∠A；

（4）方法一:∵△EFP是由△EFA折叠得到的

    ∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF

    ∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF

    ∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）

    又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A

    ∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A

方法二: ∵∠1+∠PFE=∠AEF+∠A, ∠2+∠PEF=∠AFE+∠A

∴∠1+∠PFE+∠2+∠PEF=∠AEF+∠AFE+2∠A

∵△EFP是由△EFA折叠得到的

∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF

∴∠1+∠2=2∠A

【解析】(1) 本题利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；

(2) 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；

(3)根据（1）、（2）归纳出结论；

(4) 折问题要在图形是找着相等的量．图1中DE为折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性质可得结论∠BDA′=2∠A图2中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论∠BDA′+∠CEA′=2∠A图3中由于折叠∠A与∠DA′E是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论．