Question

如图，在平面直角坐标系中，函数的图象是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标:              、           ；

归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为            ；

运用与拓广：已知两点D(0,-3)、E(-1,-4)，试在直线上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer

【解析】
（1）如图：， 

(2)(n,m)

(3)(3)由(2)得，D(0,-3) 关于直线l的对称点的坐标为(-3,0)，

(4)连接E交直线于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小 

设过(-3,0) 、E(-1,-4)的设直线的解析式为，

则    ∴

∴．

由 得   

∴所求Q点的坐标为（-2，-2）

【解析】（1）根据对称轴为第一、三象限的角平分线，结合图形得出B′、C′两点坐标；

（2）由（1）的结论，并与B、C两点坐标进行比较，得出一般规律；

（3）由轴对称性作出满足条件的Q点，求出直线D′E的解析式，与直线y=x联立，可求Q点的坐标，得出结论．