Question

如图，直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，平行于轴的直线分别交直线、直线于、两点（点在的左侧）

⑴点的坐标为                   ；

⑵如图1，若点在线段上，在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

⑶如图2.若以点为直角顶点，向下作等腰直角，设与重叠部分的面积为，求与的函数关系式；并注明的取值范围.

Answer

⑴点的坐标为（，）

⑵令，则∴

∴点（，）

     ∴

∴点（，）

∴

作轴于  当时为等腰直角三角形

∴       ∴（，0）

作轴于  当时为等腰直角三角形

同理可得     ∴（，0）

当且时为等腰直角三角形

作 可得

∴     

      ∴（，0）

∴点的坐标为（，0），（，0），（，0）

⑶当时

∴

当时

∴

【解析】（1）利用两直线相交的性质，使两式相等即可得出答案；

（2）首先表示出PQ的长度，进而得出当PH=HQ且∠PHQ=90°时以及 当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，分别求出即可；

（3）分别根据当时以及当时表示出△PQF与△AOB重叠部分的面积即可．