Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°, BD平分∠ABC

求证：(1)  DC=BC;

(2)  E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求的值.

Answer

(1)证明见解析 (2) 等腰直角三角形，证明见解析(3)

【解析】（1）证明：因为BD平分∠ABC

所以∠ABD=∠DBC=∠BDC,即DC=BC. ……2分

 (2)等腰直角三角形.

证明：因为.

所以，△DEC≌△BFC

所以，.

所以，

即△ECF是等腰直角三角形.               ……4分

（3）设,则，所以.

因为，又，所以.

所以

所以    ……4分

（1）利用等腰三角形的性质求证

（2）由已知可证△DEC≌△BFC，得EC=CF，∠ECD=∠FCB，由∠BCE+∠ECD=90°，得∠ECF=90°，即△ECF是等腰直角三角形；

（3）设，利用勾股定理求得BF的长，即可求解