Question

如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，于点Q，

（1）求证：

（2）请问PQ与BP有何数量关系？并说明理由，

Answer

（1）证明：∵为等边三角形

∴，

在和中

，

∴

（2）BP=2PQ

证明：∵△BAE≌△ACD，

∴∠ABE=∠CAD．

∵∠BPQ为△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．

∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴BP=2PQ．

【解析】（1）根据SAS定理，即可判断两个三角形全等；

（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的外交的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．