Question

（1）如图1，BP为ABC的角平分线，PMAB于M，PNBC于N，AB =30，BC =23，求ABP与BPC的面积的比值；

（2）如图2，分别以ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断AOD与AOE的数量关系，并证明；

（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分BAD，请画出图形，并直接写出B和D的数量关系．

        

Answer

（1）

∵平分

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴所求面积比值为

（2）答：∠AOD与∠AOE的数量关系为相等．

证明：如图2，过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．

∵∠BAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠BAE．

∴△DAC≌△BAE．

∴DC=BE，

∴S△DAC=S△BAE．

∵S△DAC=DC•AM，S△BAE=BE•AN，

∴AM=AN．

∴点A在∠DOE的角平分线上．

∴∠AOD=∠AOE．

（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，

∵AC为∠BAD的角平分线，

∴CM=CN，

∵CB=DC，

∴△CMB≌△CND，

∴∠MBC=∠NDC，

∵∠MBC+∠ABC=180°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．

【解析】（1）做PN⊥BC于N，由题意推出PM=PN，然后根据三角形的面积公式，即可推出两个三角形的面积之比．（2）过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，推出△DAC≌△BAE，可知它们的面积相等，即可推出AM=AN，即可推出：∠AOD=∠AOE，（3）根据题意画出图形，做CM⊥AB，CN⊥AD，推出△CMB≌△CND，即得∠B+∠D=180°．