Question

平行四边形ABCD中，AB=5，AD＝8，∠C、∠D的平分线分别交 AD、BC与点E、F，且AF⊥BC．

（1）求tan∠ADF；

（2）求CE的长．

Answer

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，AD=BC=8， ∴AB∥CD，AD∥BC               

∴∠ADF=∠DFC   

∵∠C、∠D的平分线分别交 AD、BC与点E、F，

∴∠ADF=∠FDC         ∴∠DFC=∠FDC

∴FC=DC=5                     

 同理可证：DE=DC=5∴BF=AE=3        

 ∵AF⊥BC．AD∥BC ∴∠AFB=∠DAF=90°

 Rt△ABF中，   ，AF=4  

 Rt△AFD中， tan∠ADF=    

（2）连结EF，

 Rt△AFD中，AF=4，AD＝8

∵FC=DE=5，  又∵AD∥BC

  ∴四边形EFCD是平行四边形              

 又 ∵ FC=DC   ∴平行四边形EFCD是菱形  

∵,   即×CE=5×4

    ∴CE=2               

【解析】（1）得出三角形ADF是直角三角形，利用角的正切值求解；

（2）连接FE，可得四边形EFCD是菱形，根据菱形的面积求得CE的长。