Question

如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外侧作Rt△ABE和Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q，

（1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形，直接写出EP与FQ有怎样的数量关系；

（2）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB= k AE，AC= k AF时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请探究EP与FQ有怎样的数量关系？

（3）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB= k AE，AC= mAF时，联结EF交射线GA于点D，试探究ED与FD有怎样的数量关系？

Answer

问题探究

          （1）结论：EP=FQ.  

          （2）结论： EP=FQ. 

     理由：∵四边形ABME是矩形， ∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.

∵AG⊥BC， ∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. 

∵ ∠AGB=∠EPA=90°  ∴ △ABG∽△EAP，

∴  = .    ∵AB= k AE，  ∴  = k  

同理△ACG∽△FAQ，∴ = = k

∴  =. ∴  EP=FQ. 

(3) . 

由（2）可知：∴ = k，  =m 

∴ = k,  = m. ∴

∵EP⊥GA，FQ⊥GA，∴ EP∥FQ.

∴       

【解析】易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；

②易证△ABG∽△EAP，△ACG∽△FAQ，根据对应变成比例即可求解。