Question

已知：⊙O的半径OA=5，弦AB=8，C是弦AB的中点，点P是射线AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D.

（1）当点P在⊙O上，求OD的长.

（2）若点P在AO的延长线上，设OP=x，，求y与x的函数关系式并写出自变量x 的取值范围。

（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长。

Answer

【解析】
当P在⊙O上时，连接BP       

     ∵ C是AB中点，O是AP中点，

∴ 点D为△ABP的重心，  ∴ 

∵ OA=OB=5   ∴  

（2）过点O作OE//AB，交PC于点E（如图） 

∵OE//AB  ∴，      

又∵ AC=BC   ∴ 

即  (x>0) 

(3) 当P在AO延长线上时，若△PCO∽△PAC时，有∠PCO=∠A，

∵∠A=∠B，∴∠PCO=∠B， 易证△ACO∽△BDC

得     得    ∴ 

当P在AO上时，若△PCO∽△PAC时，可得CP⊥AO（如图）

作BH⊥AO，可求得   ，

由， 得      ∴

则 

综上所述，若△PCO与△PCA相似，此时BD的长为或

【解析】（1）连接BP，由两个中点得出点D是重心，可以得到；

       （2）过点O作OE//AB，由三角形中线段的相似比找出y与x的函数关系式；

       （3）考虑两种情况：点P在AO延长线上或者点P在AO上。