Question

如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD． 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD ．

（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动． 过Q作直线QN，使QN∥PM． 设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm² ．

① 求S关于t的函数关系式；

② 求S的最大值．

Answer

（1）（2）①②

【解析】(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．

∴ SΔAPE=．                                  ……………………………4分

(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=．

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．……………………2分

当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动． 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．

……………………………2分

当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动． 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=．

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．

……………………………2分

故S关于t的函数关系式为

②当0≤t≤6时，S的最大值为；              …………………………1分

当6≤t≤8时，S的最大值为；                …………………………1分

当8≤t≤10时，S的最大值为；               …………………………1分

所以当t=8时，S有最大值为 ．                …………………………1分

（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；

（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．

②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．