Question

如图，已知抛物线y = ax² + bx－4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．

（1）求m的值及抛物线的解析式；

（2）点P是线段上的一个动点，过点P作PN∥，交于点，连接CP，当的面积最大时，求点P的坐标；

（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

【解析】
(1)过M作MK⊥y轴，连接MC，

由勾股定理得CK=3，∴OK=1，

 ∴m=-1

过M作MQ⊥  y轴，连接MB，

由勾股定理得BQ=3，∴B(4，0)

又M在抛物线的对称轴上，∴A(-2，0)

∴  解得： 

∴抛物线的解析式为：   

（2）设点P的坐标为（，0），过点作轴于点（如图）。

∵点的坐标为（，0），点的坐标为（4，0），

∴AB=6，AP=m+2

∵BC∥PN，∴△APN∽△ABC

∴，∴，∴ 

∴

∴当m=1时，有最大值3。此时，点P的坐标为（1，0）

（3）、 、、 

【解析】(1)过M作MK⊥y轴，连接MC，利用勾股定理即可求得m的值，过M作MQ⊥y轴，连接MB，利用勾股定理即可求得点A、点B的坐标，根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）过点作轴于点，先证得△APN∽△ABC，根据对应边成比例即可表示出NH，从而得到面积的函数关系式，根据函数关系式的特征即可求得当的面积最大时，点P的坐标；

（3）根据平行四边形的特征分类讨论。