Question

在平面直角坐标系xoy中，边长为的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．

⑴当∠BAO=45°时，求点P的坐标;

⑵求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

⑶当B点坐标为（0,1）时，求CD的解析式。

Answer

⑴P（，）⑵证明见解析⑶

【解析】⑴P（，）

    ⑵过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，

         则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，

         ∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，

         ∴△PAM≌△PBN，

         ∴PM=PN，于是，点P都在∠AOB的平分线上；

    ⑶

本题考查的是一次函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及正方形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

（1）先根据正方形的性质求出BP的长，再由∠BAO=45°判断出四边形OAPB是正方形，由正方形的性质即可得出结论；

（2）作DE⊥x轴于E，设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n），由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D点坐标，再根据P是线段BD的中点即可得出P点坐标，进而可得出结论．

⑶求出AB的解析式,即可求得CD的解析式