Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：；

（2）若，求CF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）5

【解析】（1）证明：过D作DG⊥BC于G．

由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分

 ∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC ．       ………………………3分

又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC ．

∴DE=DC，且AE=GC．      ……………………4分

在△EDF和△CDF中，

∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，

∴△EDF≌△CDF．

∴EF=CF ．  ……………………………………………6分

（2）∵AD=3AE， ∴．  ………………………………………7分

设，则，BE=6－2=4.

由勾股定理，得 ．

解之，得 ， 即．

∴CF = EF=5……………………………10分

（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，

（2）由（1）得，设，利用勾股定理求解 

A