Question

已知关于x的一元二次方程mx ²－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x₁、x₂(x₁＜x₂),若y是关于m的函数，且y=x₂－2x₁，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图像回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m.

Answer

（1）证明见解析（2）y=（3）m≥1

【解析】（1）证明：∵a=m,b=-(3m+2),c=2m+2

               ∴Δ=【－(3m+2)】2－4m(2m＋2)

                    =9m2+12m+4－8m2－8m

                    =m2+4m+4

                    =(m+2)2

               又∵m>0

                ∴Δ=(m+2)2>0

                ∴ 此方程有两个不相等的实数根

（2）先由公式法可求得x=1或x=

          ∵x10)

（3）在同一直角坐标系中分别画出函数y=(m>0)和y1=2m的图像，由图像可得当m≥1时，y≤2m.图略.

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．本题也考查了不等式的解法，m＞0是一个重要的条件．