Question

如图：AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O₁与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E。

（1）求证：AD＝DC

（2）求证：DE是的切线

  （3）如果OE＝EC，请判断四边形O₁OED是什么四边形，并证明你的结论。

Answer

（1）、（2）证明见解析（3）正方形，证明见解析

【解析】证明：（1）连结OD，

则∠ADO＝90°

∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距， ∴ AD＝DC         ………………

（2）∵D为AC的中点，O1为AO的中点，∴O1D∥OC

     又DE⊥OC，∴DE⊥O1D    ∴  DE与⊙O1相切  ………………

（3）如果OE＝EC ，又D为AC的中点

     ∴ DE∥O1O   又O1D∥OE  四边形为平行四边形

     又∠DEO＝90°，O1O＝O1D  ∴四边形O1OED为正方形

（1）连OD可得OD⊥AC，又有OA=OC，所以第一问可求解；

（2）证明O1D⊥DE即可；

（3）如果OE=EC，又D为AC的中点，所以四条边相等，再根据角之间的关系，即可得出其形状．