Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°。D是BC的中点，DE⊥AB于点E求证：EB＝３EA　（9分）

Answer

证明见解析

【解析】证明

∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°

∴∠B=∠C=30°

∵D是BC中点

∴AD⊥BC且AD平分∠BAC，

∴∠BAD=60°

∴∠ADB=90°

∴AD=AB

又∵DE⊥ＡＢ

∴∠ＤＥＡ＝９０°

∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＡ－∠ＢＡＤ＝９０°－６０°＝３０°

∴ＡＥ＝ＡＤ

ＡＥ＝ＡＢ，ＡＢ＝４ＡＥ

∴ＢＥ＝ＡＢ，ＢＥ＝×４ＡＥ＝３ＡＥ

即ＥＢ＝３ＥＡ

易得∠B=30°，∠BAD=60°，AD⊥BC，那么在△ADE中，AD=2AE；在△ABD中，AB=2AD，即得AB=4AE，从而得BE=AB，即证出EB=3EA