Question

如图，平面直角坐标系中，已知点（2，3），线段垂直于轴，垂足为，将线段绕点A逆时针方向旋转，点落在点处，直线与轴的交于点．

（1）试求出点的坐标；

（2）试求经过、、三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；

（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似．

Answer

（1）点的坐标为（，）．                                                 

        设直线的表达式为．

        易得  解得             

        所以直线的表达式为．

        当时，，．

        所以点的坐标为（，）．              

（2）设经过、、三点的抛物线的表达式

为（）             

        易得                   

解得                                                             

        因此，所求的抛物线的表达式为．  

        其顶点坐标为 (，)．                                                 

（3）点在的对称轴(即直线)上，所以设点的坐标为（1，）．

        由题意可得 ，，

        ∴ , ．

        所以若以、、为顶点的三角形与△相似，必有一个角的度数为，

由此可得点必定在点的上方，

，                                       

        所以当或时，

以、、为顶点的三角形与△相似．                              

由点（，）、（，）、（2，3）、(，)易得

，，．

        ∴或．

        解得 或．                                      

        故符合题意的点有两个，其坐标为（1,5）或（1,6）．                       

【解析】（1）已知A点坐标，根据AB的长以及线段AB的旋转条件确定点C的坐标，利用待定系数法即可确定直线BC的解析式，进一步能求出点D的坐标．

（2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，通过配方能得到顶点E的坐标．

（3）首先画出对应的图形，根据A、B、C、D四点坐标，能判断出∠ACD=135°，结合A、E的坐标，首先确定点F的大致位置，然后根据相似三角形的对应边成比例求出点F的坐标．