Question

已知：半圆的半径，是延长线上一点，过线段的中点作垂线交于点，射线交于点，联结．

（1）若，求弦的长．

（2）若点在上时，设，，求与的函数关系式及自变量的取值范围；

（3）设的中点为，射线与射线交于点，当时，请直接写出的值．

Answer

【解析】
（1）连接OC，若当AC=CD时，有∠DOC=∠POC

∵BC垂直平分OP, ∴PC=OC=4, ∴∠P=∠POC=∠DOC 

∴△DOC∽△DPO，

 ∴   设CD=y，  则16=(y+4)y   

∴解得

即CD的长为

（2）作OE⊥CD，垂足为E， 

可得    

∵∠P=∠P, ∠PBC=∠PEO=90°∴△PBC∽△PEO  

∴，  ∴  

 ∴     ()

（3）若点D在AC外时， 

若点D在AC上时，  

【解析】（1）等弧对等角，得出△DOC∽△DPO，可得CD的长；

       （2）作OE⊥CD，可得△PBC∽△PEO，由三角形相似比可得

        （3）两种情况：点D在AC外，点D在AC上。